用一顆茶葉蛋學「邊際效應」！一堂大人的社會課

文/劉炯朗
 

有限的「資源」

肚子餓、營養不良、結婚宴席，都離不開食物；口渴、洗衣服、灌溉農田、水力發電，都需要水；買便當、買房子、投資股票、借貸給朋友，非錢不行；搬運貨物、挖洞築牆、指揮交通、繕寫文書、裝配精密儀器，都靠人力；讀書、運動、約會、旅遊、休息、睡覺，都要有時間。

食物、水、金錢、人力、時間，都是為了完成一份工作、達到一個目標，所需要的有形或無形之物，統稱為「資源」（resource）。資源的特色是：一、可以被使用；二、被消耗後可能會消失；三、總量有限，但可以有新的來源或再生。

在資源是有限的前提之下，如何把資源分配到不同的項目上使用，成為經濟學、社會學、心理學和日常生活裡的重要課題。

邊際效應

早上起來吃了茶葉蛋，咕咕叫的五臟廟安靜下來，精神為之抖擻；公司周年慶祝酒會，政商好友的花籃、花牌紛至沓來，心花怒放；警察局增加了一批新進警察，竊盜事件減少；候選人募得新的競選經費，民調節節上升。吃茶葉蛋、收到花籃、增加新進警察、募得新的競選經費，都可以稱為「行為」（behavior）；肚子飽了、開心得意了、盜竊事件減少了、民調上升了，都可以稱為與行為相對的「效應」（utility）。

我們往往會「量化」這些行為和效應：早上起來吃了三顆茶葉蛋，肚子得到80分的滿足感；周年慶祝酒會收到100個花籃，心情十二萬分愉快；增加20位新進警察，盜竊事件減少了50件；競選經費增加了100萬，民調提高了5％，這些是「行為」裡所有動作的總效應。

我們也可以算出「行為」裡某一個動作的平均效應：吃了3顆茶葉蛋得到80分的效應，每一顆茶葉蛋就是80除以3，等於26.67分的效應；收到100個花籃，心情變得十二萬分愉快，十二萬除以一百，等於每個花籃的效應是1200分。

可是，假如我們趕著上班，只來得及吃兩顆茶葉蛋呢？假如媽媽堅持我們在吃了兩顆蛋之後，再多吃一顆或兩顆茶葉蛋呢？我們應該更精準估算每一顆茶葉蛋帶來的效應：一早起來肚子空空如也，吃第一顆茶葉蛋就獲得五十分的效應，再吃一顆達到七十分的效應，再吃一顆一共得到八十分的效應。

換句話說，雖然是一口氣吃了三顆茶葉蛋，但每顆茶葉蛋的效應不同。第一顆茶葉蛋的效應是把我們的滿足感從0分提升到50分，第二顆蛋的效應是把我們的滿足感從50分提升到70分，也就是第二顆蛋的效應是20分，第三顆茶葉蛋的效應是把我們的滿足感從70分提升到80分，也就是說它的效應是10分。假如再吃第四顆茶葉蛋，效應可能是5分，再吃第五顆茶葉蛋，效應可能只有兩分而已。

一口氣吃下好幾顆茶葉蛋時，每多吃一顆所增加的效應，叫做「邊際效應」（marginal utility）。五顆茶葉蛋的邊際效應分別是50分、20分、10分、5分和2分。警察局增加一位新進警察，盜竊案少了5宗，若再加一位新進警察，盜竊案一共少了7宗，再加第三位新進警察，盜竊案一共少了8宗，因此每增加一位新進警察的邊際效應分別是盜竊案減少了五宗、二宗、一宗。

在上面幾個例子裡，每多吃一顆茶葉蛋、每多收到一個花籃、每增加一位新進警察、每增加一百萬競選經費，產生的邊際效應都是正數，但邊際效應可能是正數，也可能是負數，也可能等於零。

回到茶葉蛋的例子，肚子餓的時候一顆茶葉蛋的邊際效應是正的，可是吃到第五顆、第六顆、第七顆之後，吃到快吐了，邊際效應可能就變成負的了；生病的時候吃抗生素，一開始邊際效應是正的，若是服用過量，邊際效應就可能變成負的了；雪中送炭時的邊際效應是正的，若炭多得無處可放，邊際效應就可能變成負的了。

有句老話說：「一個和尚挑水吃，兩個和尚擔水吃，三個和尚沒水吃。」也可以解釋成，第一個和尚的邊際效應是兩桶水，第二個和尚的邊際效應是負一桶水，第三個和尚的邊際效應又再負一桶水。「一斗米養個恩人，一石米養個仇人」的意思也相同。

邊際效應也可能等於零。報僮不小心送來兩份當天的報紙，第二份報紙的邊際效應就是零；一家五口去遊樂場玩，買門票時售票員說今天買五送一，第六張門票的邊際效應也是零。古諺「渴時一滴如甘露，醉後添杯不如無」，口渴的時候一滴水的邊際效應很大，喝醉的時候，一杯酒的邊際效應就是零了。

上述舉例中的邊際效應都是逐漸遞減，這在許多現實的經濟和社會行為裡都會出現，因此也被稱為「邊際效應遞減定律」。不過在現實生活中，邊際效應也是會遞增的：木匠要做一把椅子，第一和第二隻椅腳的邊際效應是零，第三隻椅腳的邊際效應最大，第四隻椅腳也有正的邊際效應，因為能夠增加椅子的平穩度，但第五隻和第六隻椅腳的邊際效應又等於零了。

同樣的道理，想打麻將時，第四個人的邊際效應最大，第五個人的邊際效應就可能是零甚至是負的了。

資源的分配和總效應

再回到茶葉蛋的例子，媽媽說除了茶葉蛋，早餐還有香蕉可以吃。吃一根香蕉有120分的效應，吃兩根一共有160分的效應，吃三根一共有180分的效應，換句話說，三根香蕉的邊際效應分別是120分、40分、20分，那我們該怎樣搭配茶葉蛋和香蕉呢？

如果媽媽說：「沒有任何限制，你們就開懷大吃吧！」我們先假設茶葉蛋和香蕉帶來的效應互不干擾，那兩顆茶葉蛋配一根香蕉，將帶來一百九十分的效應（70 + 120 = 190）、一顆茶葉蛋配三根香蕉則有230分的效應（50 + 180 = 230）。

但是，如果茶葉蛋和香蕉並不是媽媽供應的，便利商店裡的茶葉蛋每顆10塊錢，香蕉每根20塊錢，媽媽給我們的預算（總資源）是50塊錢，要如何分配這50塊錢的預算，讓茶葉蛋和香蕉的總效應達到最高呢？

有以下幾種可能：五顆茶葉蛋加零根香蕉（總效應 50 + 20 + 10 + 5 + 2 = 87）；三顆茶葉蛋加一根香蕉（總效應 50 + 20 + 10 + 120 = 200）；一顆茶葉蛋加兩根香蕉（總效應 50 + 120 + 40 = 210），

因此，一顆茶葉蛋配兩根香蕉帶來的總效應最高。圖一的(a)、(b)分別指出了茶葉蛋和香蕉的數目和總效應之間的關係。

這裡可以有個簡單的延伸：為了方便進行數學運算，我們假設茶葉蛋可以負一個、一．○一個、1.02個……2個、2.01個……，香蕉也可以負1根、1.01根、1.02根……，而每0.01顆茶葉蛋、每0.01根香蕉的邊際效應也會隨之變化，這樣一來，圖一(a)和(b)的離散數據就會變成像圖二的(a)和(b)，是用曲線來表達的連續數據了。

同樣的，預算的分配我們也可以花1塊錢、1.01塊錢、1.02塊錢……。

「朝四暮三」的邊際效應

莊子《齊物論》裡「朝四暮三」的故事想必大家都很熟悉。宋國有一個很喜歡猴子的人，在家裡養了一大群猴子，甚至把家人的口糧節省下來，讓猴子們吃得飽，他很懂得猴子們的心意，猴子們也很懂得他的心意。不久，因為糧食缺乏，他不得不限制猴子們的飼料分量，卻又擔心猴子們會反抗。他先對猴子們說，早上給三顆橡實、晚上給四顆，可以嗎？猴子們氣得跳了起來；他改口說，那麼早上四顆、晚上三顆？猴子們高興得不得了。「朝四暮三」原來的寓意是事情實質沒有改變，只是用不同的表達方式來誆騙別人。

然而，「朝四暮三」的故事其實可以用邊際效應來解釋：在不同的時間，猴子們吃橡實的邊際效應可能是不同的，早上因為剛睡醒，肚子空空，吃到第四顆的邊際效應還是滿高的；可是晚上想睡覺了，吃到第四顆的邊際效應就比較小些。

讓我們更小心分析這個問題。首先，猴子們吃的橡實有兩種，一種是早上吃的橡實，一種是晚上吃的橡實。一口氣吃七顆早上橡實的邊際效應，分別是四十、三十、二十五、二十五、十、五、五分；一口氣吃七顆晚上橡實的邊際效應，分別是五十、四十、二十、十、十、五、五分。

在一整天的橡實總數為七顆的前提之下，經計算可知：朝三暮四的總效應是二百一十五分、朝四暮三的總效應是二百三十分，朝四暮三的總效應確實比朝三暮四來得好。我們同時也發現，朝五暮二的總效應是二百二十分，也比朝三暮四要好；朝六暮一、朝一暮六和朝三暮二的總效應都是一百八十五分。

同樣是分配，我們每天有24小時，要把這24小時分配在睡眠、工作、學習、運動和與家人朋友共處這5個項目上面，這些項目的效應可以用一個健康、快樂、成功的效應來量度。每一小時或每一分鐘花在每一個項目的邊際效應是不同的，粗略來說，大致上都是遞減，例如剛上床睡覺時又甜又香，可是睡夠了，邊際效應就逐漸趨向於零；剛開始工作時的邊際效應很高，若工作過了頭，邊際效應可能就變成負的。若能把花在這五個項目上的時間總效應算出來，就是健康、快樂和成功的指數，也就知道如何分配每天的二十四小時了。

特別講這個例子是為了指出，分配是要把固定的預算分配在不同的商品或項目上，最簡單的例子是只有兩個不同的商品或項目，但這個觀念和方法可以推廣到兩個以上的不同商品或項目。

書籍簡介：大人的社會課：從阻撓議事到邊際效應，搞懂世界的真實運作