關於報酬順序風險，在先前熊市市場是給年輕人的禮物一文中，指出此風險所帶來的影響，並不是單純如市面上所說的風險，反而是加速累積資產的機會。
而在這此篇文章，我將進一步說明，投資人最常用的兩種投資方法：單筆一次性買進和定期定額分批買進，與報酬順序風險之間的關係，並且試著讓你理解，為何單筆投入買進，會是一個克服此風險的較佳方式。
首先，讓我們看一個簡單的例子。假設未來的市場年化報酬率為8%，目前價格100元的市場ETF，每年的資產變化將如下呈現。
股價每年以固定8%的漲幅變化，是一般大眾對於股價變化的常見假設，然而從數學算出來的平均報酬，並非代表市場每年都保持相同的速度增長。但如果在此種固定報酬成長的歷程，我們倒是可以思考看看。投資人應該要採取一次性的單筆投入，還是將資金分批買入?
很顯然地，在此種狀況，採取一次性的單筆投入，會比將資金分批買進還來的好。原因在於一次性的單筆購入，成本只有每股100元，而分批買進的平均成本，由於股價不斷上漲，則是會大於100元。因此，在相同的本金之下，擁有較低成本的一次性單筆買入，會擁有較多的股數，也代表著資產越多。
所以，在總是上漲的市場走勢，採取單筆投入會是較佳的選擇。不過真實的市場環境，並非總是上漲，股價是有波動起伏，有時上漲，有時下跌，而波動所形成的價格變化，便是報酬順序風險的源頭。
市場波動造就股價的起伏
在先前介紹何謂報酬順序風險的文章，採用VT從2008-2021的漲跌幅為例，檢視將其報酬順序顛倒之後，兩者的價格變化。
即便我們調整其報酬漲跌順序，但是起始的價格與終點的價格並不變，這表示相同時間內的總報酬是一樣的。除此之外，中間價格的漲跌幅先後順序雖然有所不同，但是都是由同樣一組的數字所組合而成的，換句話說，這兩種報酬順序所承受的風險(波動)也是相同的。
因此，假如我們將股票波動(數學上定義的標準差)視為風險，並且將其視為一項固定的數值，則數值越大，股價的波動越大；反之波動則會越小。於是當我們試圖藉由數學的方式，評估長期市場走勢時，便會因為標準差的關係，讓股價看起來是一種上漲的趨勢，但另一方面卻伴隨著過程的上下起伏，就好比是VT的報酬走勢一般。
換句話說，就是因為有了波動，市場股價便不再是單純的上漲，而是過程中涵蓋了下跌的可能，並且因為波動(標準差)的關係，有時候漲跌多，有時候漲跌小，幅度大小取決於機率。此外，由於市場價格長期來看會不斷突破新高，整體價格的上漲速度，則取決於我們設定的年化報酬率，數值越高，則上漲的速度越快，反之則會越慢上漲。
年化報酬率 vs. 年化波動率
現在我們很清楚，要洞見未來市場的走勢，可以基於兩項因素來模擬。
年化報酬率
年化波動率
一旦拋出這兩種因素，聰明的你，或許會立即意識到，這不是正是鼎鼎大名的蒙地卡羅模擬法嗎？
正確。
蒙地卡羅模擬便是採用這兩個變數，試圖模擬在一個有波動的市場情況下，投資人有可能歷經的投資歷程，此方式會比過往單一線性(無波動)還要符合真實的情況，但請記得，此為模擬便只是模擬，是無法用來預測未來的。
因此接下來，我將透過蒙地卡羅的模擬，試圖了解在不同的年化報酬率以及年化標準差之下，關於單筆投入 vs 定期定額所獲得的最終報酬關係。
單筆投入 vs 定期定額
對於多數投資人來說，投資的時間可以是幾天到好幾十年，但短期的投資，波動很大，虧損的機率也高，並不是一個合適的投資週期，最好的投資長度其實是永遠，持續投資不間斷。
因此，在接下來的模擬測試，我所採用的投資週期將是30年，但由於年化報酬率以及年化標準差兩者能搭配出許多組合，在此先以5％的年化報酬率以及10%的年化標準差作為例子提供參考，分別檢視在單筆投入和定期定額之間，他們所能獲得的報酬區間，以及報酬的波動性大小。
以5%年化報酬率+10%年化波動率為例
定期定額
最高：833.5%
最低：-37.21%
平均報酬：149.09%
報酬標準差：173.35%
單筆投入
最高：2751.62%
最低:：-51.6%
平均報酬：404.86%
報酬標準差：387.97%
在此投資環境之下，採取定期定額的報酬範圍為-37.21~833.5%，相比單筆投入的-51.6%~-2751.62%，賠得比較少，但相同的，賺錢的上限也降低不少，這也導致整體的平均報酬比單筆投入則是少了2倍。不過在報酬的波動性(標準差)的數值上，可以看到定期定額的報酬波動性較小，相較於單筆投入大起大落顯得較為穩定。
儘管有了這些數據，讓我們得知定期定額與單筆投入在有波動的環境之下，彼此都有勝出的機會，但實際的可能性有多高，並不是太清楚。
因此接下來，將透過執行一定次數的蒙地卡羅模擬方法，計算兩者報酬的勝率。
在此圖表呈現的數據，單筆投入最低的勝率為86.8%。長期股票市場的報酬約為8%、年化波動為15%，以此數據計算，單筆投入擁有極高的勝率(97.8%)。年化標準差帶來的波動如果夠大，定期定額才有機會勝出
如果你的投資時間夠長，選擇單筆投入是個理性的抉擇。
結論
在一個沒有任何波動不會產生報酬順序風險，總是不斷上漲的市場，採取一次性單筆投入，可以藉由早期購入，擁有較低的成本，是完全正確的選擇。
但真實有波動的市場當中，到底該採取一次性單筆投入，還是分批定期投入克服報酬順序風險帶來的傷害呢？我們從先前的模擬結果發現：
年化報酬率越高：單筆勝出幅度越高
標準差(波動)越低：單筆勝出幅度越高
投資時間30年的情況下，單筆投入勝率極高
這個的結果，是否會讓你感到很意外？擁有這些結論的關鍵，其實便是我們預期市場長期的走勢是上漲的。
如果我們更進一步思考此結論，我想與你分享的思維會是如此...「因為市場的波動變化(報酬順序的改變)，才帶來定期定額能夠勝出的一次性單筆投入的機會。」
造成此現象輕重的關鍵便是年化標準差。因此，當我們再次回顧一開始的問題，當市場股價每年以固定8%的漲幅成長，請問單筆投入還是定期定額哪一個會比較好？
相信你一定了解到，此命題相當於年化報酬率8％年化標準差０％的模擬情境(無波動)。沒有波動，分批投入沒有任何勝出的機會，也不須理會報酬順序風險。因此，當我們在規劃未來的投資計劃，重點在於你對於未來市場波動的看法。
我相信市場一定會有波動，同時間也替分批投入帶來勝出的可能。但問題始終在於，你要如何判斷...「在分批投入資金的期間，市場會下跌讓你買入低成本的資產？」
儘管我沒有辦法預判，但我知道市場長期的時間會是向上增長的，這點在過去的市場軌跡得到驗證，尤其是在越長的分批投入的時間之下，分批投入的勝率將會越低，透過台灣市場與全球市場過往回測單筆投入與分批投入的結果，同時也能印證這一點。
此外，根據過去長期的市場報酬，年化報酬率約為8%，年化標準差約為15%，透過之前蒙地卡羅的30年模擬，單筆投入相較於定期定額，所能獲得較高報酬的機率是非常高的(97.8%)。
這也是為什麼我在一開始提到，採取單筆投入買進，會是一個克服報酬順序風險(避免較低的報酬)的較佳方式，就如同那2%報酬差異的投資決定。
原因在於報酬順序僅是改變報酬的順序，對於年化報酬率以及年化標準差並沒有改變，但如果我們的目標都是為了有更高的機率會得更好的報酬，那根據模擬的結果，選擇單筆投入的方式便是更好的做法。
換句話說，當你能把人生每一年能投資的資金集合起來，並且一開始就全部單筆投入的話，是否正是擁有較高報酬的做法呢？答案我們下一篇揭曉！
(編按：筆者近日也在臉書上試算比較0050、台積電...all in以及定期定額的投資績效比較，請見下圖)
0050 vs. 台積電一年績效試算
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本文獲「小資YP投資理財筆記」授權轉載，原文：蒙地卡羅與報酬順序風險 – 單筆投入 vs 定期定額
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